第四节平面方程
第四节 平面方程 一、平面的点法式方程 二、平面的一般式方程 三、平面的截距式方程 四、两平面间的关系 一 、平面的点法式方程 若向量n垂直于已知 平面π,则称向量n为平 面π 的法线向量. 若已知平面π过点M0x0,y0,z0,且向量nA,B,C为 法线向量.可用向量运算建立平面π的方程. n·M0M0. 设点Mx,y,z为平面π 上的任意一点,则M0M x–x0,y–y0,z–z0必定位于平面π上.由于向量n垂直于 平面π,因此n必垂直于平面π上的任一向量,从而 有n⊥M0M,则 由两向量数量积的坐标表示法可得 方程1即为过点M0x0,y0,z0且以nA,B,C为法线向量 的平面方程.称为点法式方程. 例1 求过点1,2,–1,且以n2,1,–1为法线向量的平 面方程. 解 由平面的点法式方程可知,过点1,2,–1,且以 n2,1,–1为法线向量的平面方程为 2x–1y–2–z10. 二 、平面的一般式方程 若将平面的点法式方程 变形并记 则可化为方程 AxByCzD0, 2 这表明过点M0且垂直于一已知向量的平面总可以表示 为x,y,z的一次方程. 反过来,对于任给三元一次方程2,总有解x0, y0,z0,即有 Ax0By0Cz0D0. 3 式2减去式3,可得 即表明任何一个三元一次方程总表示平面.因此称式 2为平面的一般式方程. 例2 研究平面AxByCz0的几何特性. 解 注意到原方程等价于 Ax–0By–0Cz–00, 这表示所给平面为过原点O0,0,0,且以 nA,B,C为法线向量的平面. 即AxByCz0表示过原点的平面. 例3 研究AxByD0所表示平面的几何特性. 解 所给平面的法线向量nA,B,0. 而z轴的方向向量为0,0,1. 由两向量数量积的坐标表示法可得 A,B,0·0,0,1A·0B·00·10, 可知n与z轴垂直.因此平面AxByD0平行于z轴. 特别当CD0时,平面AxBy0过z轴. 同理可知AxCzD0 和ByCzD0分别表示平 行于y轴和x轴的平面. 例4 研究平面CzD0的几何特性. 解 易知所给平面法线向量n0,0,C与z轴的方向平行. 同理AxD0表示平行于Oyz坐标面; ByD0表示平行于Oxz坐标面的平面. 因此可知CzD0表示平行于Oxy坐标平面的平面. 例5 求过x轴,且过点1,1,–1的平面方程. 解 设过x轴的平面方程为ByCz0. 由于平面过点1,1,–1,因此有 B–C0, 即BC.将其代入所设方程并化简可得 yz0 为所求平面方程. 例6 已知空间中的点M12,0,–1,M2–1,–1,1, M3–3,–2,1,求过这三点的平面方程. 解法1 设n为所求平面的法线向量.由于M1,M2,M3在 所求平面上,因此 M1M2–1–2,–1–0,1––1–3,–1,2, M1M3–3–2,–2–0,1––1–5,–2,2, M1M2, M1M3在所求平面上. 即有n⊥M1M2,且n⊥M1M3. 由平面的点法式方程,可得 2x–2–4y–0z––10, 即 2x–2–4yz10 为所求平面方程. 解法2 可以利用平面的一般式方程,设所求平面方程为 AxByCzD0.由于平面过点M1,M2,M3.因此 这三点的坐标必定满足平面方程,即有 代入所设平面方程并化简可得 2x–4yz–30. 三、平面的截距式方程 设平面π过点M1a,0,0,M20,b,0,M30,0,c三点 ,下面研究平面π的方程其中a,b,c皆不等于0. 设平面π的方程为 AxByCzD0. 由于M1a,0,0在平面π上, 因此 AaD0, 将A,B,C代入所设的平面方程并化简可得 即为所求方程.称为平面的截距式方程.称a,b,c为平 面在x轴,y轴,z轴上的截距. 例7 若已知某平面在x,y,z轴上的截距分别为1,2,–1, 求这个平面的方程. 解 由平面的截距式方程,可知所求平面方程为 即 2xy–2z–20. 截距式方程给出了平面与三个坐标轴的交点,因 此,为了画出平面图形,将平面的一般式方程化为截 距式方程,然后利用平面与三个坐标轴的交点确定该 平面的图形. 例8 试画出平面3x2y6z–120的图形. 解 先将所给平面的一般式方程化为截距式方程 可知该平面与x轴、y轴 、z轴的交点分别为 4,0,0,0,6,0,0,0,2. 所求平面即以此三点为 顶点的三角形所在平面. 四、两平面间的关系 两平面的法线向量之间的夹角为这两个平面间的 夹角. 设两平面π1,π2的方程分别为 A1xB1yC1zD10, A2xB2yC2zD20. 它们的法线向量分别为 n1A1,B1,C1, n2A2,B2,C2 , 设这两个法线向量间的夹为 ,则由两向量的夹角 余弦公式可知 这也是两平面夹角的余弦公式. 由两平面的夹角公式可知,平面π1和π2垂直的充 分必要条件为 A1A2B1B2C1C20, 两平面平行的充分必要条件为 例9 设平面π1,π2的方程分别为 2x–yz–70, xy2z–110,求π1,π2的夹角. 解 π1,π2的法线向量分别为n12,–1,1,n21,1,2. 由两平面的夹角公式有 故所给两平面的夹角