第四节平面方程

第四节平面方程一、平面的点法式方程二、平面的一般式方程三、平面的截距式方程四、两平面间的关系一、平面的点法式方程若向量n垂直于已知平面π，则称向量n为平面π 的法线向量. 若已知平面π过点M0x0,y0,z0，且向量nA,B,C为法线向量.可用向量运算建立平面π的方程. n·M0M0. 设点Mx,y,z为平面π 上的任意一点，则M0M x–x0,y–y0,z–z0必定位于平面π上.由于向量n垂直于平面π，因此n必垂直于平面π上的任一向量，从而有n⊥M0M，则由两向量数量积的坐标表示法可得方程1即为过点M0x0,y0,z0且以nA,B,C为法线向量的平面方程.称为点法式方程. 例1 求过点1,2,–1，且以n2,1,–1为法线向量的平面方程. 解由平面的点法式方程可知，过点1,2,–1，且以 n2,1,–1为法线向量的平面方程为 2x–1y–2–z10. 二、平面的一般式方程若将平面的点法式方程变形并记则可化为方程 AxByCzD0， 2 这表明过点M0且垂直于一已知向量的平面总可以表示为x，y，z的一次方程. 反过来，对于任给三元一次方程2，总有解x0， y0，z0，即有 Ax0By0Cz0D0. 3 式2减去式3，可得即表明任何一个三元一次方程总表示平面.因此称式 2为平面的一般式方程. 例2 研究平面AxByCz0的几何特性. 解注意到原方程等价于 Ax–0By–0Cz–00, 这表示所给平面为过原点O0,0,0，且以 nA,B,C为法线向量的平面. 即AxByCz0表示过原点的平面. 例3 研究AxByD0所表示平面的几何特性. 解所给平面的法线向量nA,B,0. 而z轴的方向向量为0,0,1. 由两向量数量积的坐标表示法可得 A,B,0·0,0,1A·0B·00·10, 可知n与z轴垂直.因此平面AxByD0平行于z轴. 特别当CD0时，平面AxBy0过z轴. 同理可知AxCzD0 和ByCzD0分别表示平行于y轴和x轴的平面. 例4 研究平面CzD0的几何特性. 解易知所给平面法线向量n0,0,C与z轴的方向平行. 同理AxD0表示平行于Oyz坐标面； ByD0表示平行于Oxz坐标面的平面. 因此可知CzD0表示平行于Oxy坐标平面的平面. 例5 求过x轴，且过点1,1,–1的平面方程. 解设过x轴的平面方程为ByCz0. 由于平面过点1,1,–1，因此有 B–C0，即BC.将其代入所设方程并化简可得 yz0 为所求平面方程. 例6 已知空间中的点M12,0,–1，M2–1,–1,1， M3–3,–2,1，求过这三点的平面方程. 解法1 设n为所求平面的法线向量.由于M1，M2，M3在所求平面上，因此 M1M2–1–2,–1–0,1––1–3,–1,2, M1M3–3–2,–2–0,1––1–5,–2,2, M1M2， M1M3在所求平面上. 即有n⊥M1M2，且n⊥M1M3. 由平面的点法式方程，可得 2x–2–4y–0z––10, 即 2x–2–4yz10 为所求平面方程. 解法2 可以利用平面的一般式方程，设所求平面方程为 AxByCzD0.由于平面过点M1，M2，M3.因此这三点的坐标必定满足平面方程，即有代入所设平面方程并化简可得 2x–4yz–30. 三、平面的截距式方程设平面π过点M1a,0,0，M20,b,0，M30,0,c三点，下面研究平面π的方程其中a，b，c皆不等于0. 设平面π的方程为 AxByCzD0. 由于M1a,0,0在平面π上，因此 AaD0, 将A，B，C代入所设的平面方程并化简可得即为所求方程.称为平面的截距式方程.称a，b，c为平面在x轴，y轴，z轴上的截距. 例7 若已知某平面在x，y，z轴上的截距分别为1,2,–1，求这个平面的方程. 解由平面的截距式方程，可知所求平面方程为即 2xy–2z–20. 截距式方程给出了平面与三个坐标轴的交点，因此，为了画出平面图形，将平面的一般式方程化为截距式方程，然后利用平面与三个坐标轴的交点确定该平面的图形. 例8 试画出平面3x2y6z–120的图形. 解先将所给平面的一般式方程化为截距式方程可知该平面与x轴、y轴、z轴的交点分别为 4,0,0，0,6,0，0,0,2. 所求平面即以此三点为顶点的三角形所在平面. 四、两平面间的关系两平面的法线向量之间的夹角为这两个平面间的夹角. 设两平面π1，π2的方程分别为 A1xB1yC1zD10, A2xB2yC2zD20. 它们的法线向量分别为 n1A1,B1,C1， n2A2,B2,C2 ，设这两个法线向量间的夹为，则由两向量的夹角余弦公式可知这也是两平面夹角的余弦公式. 由两平面的夹角公式可知，平面π1和π2垂直的充分必要条件为 A1A2B1B2C1C20，两平面平行的充分必要条件为例9 设平面π1，π2的方程分别为 2x–yz–70, xy2z–110，求π1，π2的夹角. 解 π1，π2的法线向量分别为n12,–1,1，n21,1,2. 由两平面的夹角公式有故所给两平面的夹角