第四节平面方程

第四节 平面方程 一、平面的点法式方程 二、平面的一般式方程 三、平面的截距式方程 四、两平面间的关系 一 、平面的点法式方程 若向量n垂直于已知 平面π，则称向量n为平 面π 的法线向量. 若已知平面π过点M0(x0,y0,z0)，且向量n=(A,B,C)为 法线向量.可用向量运算建立平面π的方程. n·M0M=0. 设点M(x,y,z)为平面π 上的任意一点，则M0M= (x–x0,y–y0,z–z0)必定位于平面π上.由于向量n垂直于 平面π，因此n必垂直于平面π上的任一向量，从而 有n⊥M0M，则 由两向量数量积的坐标表示法可得 方程(1)即为过点M0(x0,y0,z0)且以n=(A,B,C)为法线向量 的平面方程.称为点法式方程. 例1 求过点(1,2,–1)，且以n=(2,1,–1)为法线向量的平 面方程. 解 由平面的点法式方程可知，过点(1,2,–1)，且以 n=(2,1,–1)为法线向量的平面方程为 2(x–1)+(y–2)–(z+1)=0. 二 、平面的一般式方程 若将平面的点法式方程 变形并记 则可化为方程 Ax+By+Cz+D=0， (2) 这表明过点M0且垂直于一已知向量的平面总可以表示 为x，y，z的一次方程. 反过来，对于任给三元一次方程(2)，总有解x0， y0，z0，即有 Ax0+By0+Cz0+D=0. (3) 式(2)减去式(3)，可得 即表明任何一个三元一次方程总表示平面.因此称式 (2)为平面的一般式方程. 例2 研究平面Ax+By+Cz=0的几何特性. 解 注意到原方程等价于 A(x–0)+B(y–0)+C(z–0)=0, 这表示所给平面为过原点O(0,0,0)，且以 n=(A,B,C)为法线向量的平面. 即Ax+By+Cz=0表示过原点的平面. 例3 研究Ax+By+D=0所表示平面的几何特性. 解 所给平面的法线向量n=(A,B,0). 而z轴的方向向量为(0,0,1). 由两向量数量积的坐标表示法可得 (A,B,0)·(0,0,1)=A·0+B·0+0·1=0, 可知n与z轴垂直.因此平面Ax+By+D=0平行于z轴. 特别当C=D=0时，平面Ax+By=0过z轴. 同理可知Ax+Cz+D=0 和By+Cz+D=0分别表示平 行于y轴和x轴的平面. 例4 研究平面Cz+D=0的几何特性. 解 易知所给平面法线向量n=(0,0,C)与z轴的方向平行. 同理Ax+D=0表示平行于Oyz坐标面； By+D=0表示平行于Oxz坐标面的平面. 因此可知Cz+D=0表示平行于Oxy坐标平面的平面. 例5 求过x轴，且过点(1,1,–1)的平面方程. 解 设过x轴的平面方程为By+Cz=0. 由于平面过点(1,1,–1)，因此有 B–C=0， 即B=C.将其代入所设方程并化简可得 y+z=0 为所求平面方程. 例6 已知空间中的点M1(2,0,–1)，M2(–1,–1,1)， M3(–3,–2,1)，求过这三点的平面方程. 解法1 设n为所求平面的法线向量.由于M1，M2，M3在 所求平面上，因此 M1M2=(–1–2,–1–0,1–(–1))=(–3,–1,2), M1M3=(–3–2,–2–0,1–(–1))=(–5,–2,2), M1M2， M1M3在所求平面上. 即有n⊥M1M2，且n⊥M1M3. 由平面的点法式方程，可得 2(x–2)–4(y–0)+(z–(–1))=0, 即 2(x–2)–4y+(z+1)=0 为所求平面方程. 解法2 可以利用平面的一般式方程，设所求平面方程为 Ax+By+Cz+D=0.由于平面过点M1，M2，M3.因此 这三点的坐标必定满足平面方程，即有 代入所设平面方程并化简可得 2x–4y+z–3=0. 三、平面的截距式方程 设平面π过点M1(a,0,0)，M2(0,b,0)，M3(0,0,c)三点 ，下面研究平面π的方程(其中a，b，c皆不等于0). 设平面π的方程为 Ax+By+Cz+D=0. 由于M1(a,0,0)在平面π上， 因此 Aa+D=0, 将A，B，C代入所设的平面方程并化简可得 即为所求方程.称为平面的截距式方程.称a，b，c为平 面在x轴，y轴，z轴上的截距. 例7 若已知某平面在x，y，z轴上的截距分别为1,2,–1， 求这个平面的方程. 解 由平面的截距式方程，可知所求平面方程为 即 2x+y–2z–2=0. 截距式方程给出了平面与三个坐标轴的交点，因 此，为了画出平面图形，将平面的一般式方程化为截 距式方程，然后利用平面与三个坐标轴的交点确定该 平面的图形. 例8 试画出平面3x+2y+6z–12=0的图形. 解 先将所给平面的一般式方程化为截距式方程 ： 可知该平面与x轴、y轴 、z轴的交点分别为 (4,0,0)，(0,6,0)，(0,0,2). 所求平面即以此三点为 顶点的三角形所在平面. 四、两平面间的关系 两平面的法线向量之间的夹角为这两个平面间的 夹角. 设两平面π1，π2的方程分别为 A1x+B1y+C1z+D1=0, A2x+B2y+C2z+D2=0. 它们的法线向量分别为 n1=(A1,B1,C1)， n2=(A2,B2,C2) ， 设这两个法线向量间的夹为 ，则由两向量的夹角 余弦公式可知 这也是两平面夹角的余弦公式. 由两平面的夹角公式可知，平面π1和π2垂直的充 分必要条件为 A1A2+B1B2+C1C2=0， 两平面平行的充分必要条件为 例9 设平面π1，π2的方程分别为 2x–y+z–7=0, x+y+2z–11=0，求π1，π2的夹角. 解 π1，π2的法线向量分别为n1=(2,–1,1)，n2=(1,1,2). 由两平面的夹角公式有 故所给两平面的夹角