立体几何中翻折问题

绍兴市稽山中学 骆永明 立体几何中的翻折问题 绍兴市稽山中学 骆永明 随着自主命题的深入，浙江省数学高 考立体几何试题对翻折问题似乎情有独钟 ，且常考常新． 这类试题背景简单，立 意深远，对考生的空间想象能力要求很高 ，能较好地改善学生对立体几何的思维定 势． 绍兴市稽山中学 骆永明 研究翻折问题应注意折前折后各元素相对位置的研究翻折问题应注意折前折后各元素相对位置的 变化．变化． 要理清哪些位置关系和度量关系发生了变化要理清哪些位置关系和度量关系发生了变化 ，哪些没有改变．，哪些没有改变． 解决翻折问题的关键可以归纳如解决翻折问题的关键可以归纳如 下下 1 1 找准找准““基准图基准图””折叠折叠; ; 2 2 画好画好““2 2 个图个图””折叠前的平面图和折折叠前的平面图和折 叠后的立体图叠后的立体图; ; 3 3 寻找寻找““2 2 个量个量””哪些量哪些量 或关系或关系 发发 生了变化，哪些量生了变化，哪些量 或关系或关系 没有发生变化．没有发生变化． 绍兴市稽山中学 骆永明 1.1.对比分析对比分析, , 寻找不变量和不变关系寻找不变量和不变关系 例例1 1 如图，在正如图，在正△△ABC ABC 中，中，D D，，E E，，F F 分别为对应边分别为对应边 的中点，的中点，GG，，H H，，I I，，J J分别为分别为AFAF，，ADAD，，BEBE，，DE DE 的的 中点，将中点，将△△ABC ABC 沿沿DEDE，，EFEF，，DF DF 折成三棱锥以后，折成三棱锥以后， GH GH 与与IJ IJ 所成角的度数为所成角的度数为 A A．． 90° B90° B．． 60°C60°C．． 45° D45° D．． 0°0° 分析分析 将将△△ABC ABC 沿沿DEDE，，EFEF，，DFDF折成的三棱锥折成的三棱锥 如图如图3 3 所示，所示，GH GH 和和IJ IJ 为一对异面直线．为一对异面直线． 由已由已 知可得知可得DFDF∥∥GHGH，， IJIJ∥∥ADAD，，∠∠ADF ADF 即为所求即为所求 的角，即的角，即GH GH 与与IJIJ所成角的度数为所成角的度数为60°60°．． 评注评注 本题解题的关键是抓住其中一些量的本题解题的关键是抓住其中一些量的 不变性，即不变性，即IJIJ∥∥BDBD，，GHGH∥∥DF DF 在翻折前后在翻折前后 不变，不变，∠∠ADF ADF 在翻折前后都为在翻折前后都为60°60°等．等． 绍兴市稽山中学 骆永明 ①②④①②④ F F 1.1.对比分析对比分析, , 寻找不变量和不变关系寻找不变量和不变关系 绍兴市稽山中学 骆永明 1.1.对比分析对比分析, , 寻找不变量和不变关系寻找不变量和不变关系 绍兴市稽山中学 骆永明 绍兴市稽山中学 骆永明 2.2.展成平面展成平面, , 逆向探究求最小值逆向探究求最小值 分析分析 联结联结A A 1 1 B B，沿，沿BCBC，将，将△△CBCCBC 1 1 展开与展开与△△A1BCA1BC 1 1 在同一个平面内，如图在同一个平面内，如图 所示，联结所示，联结A A 1 1 C C，则，则A A 1 1 C C 的的 长度就是所求的最小值．长度就是所求的最小值． 通过计算可得通过计算可得∠∠A A 1 1 C1B 90° C1B 90° 且且∠∠BCBC 1 1 C 45°C 45°，于，于 是是∠∠A A 1 1C C1 1 C 135°C 135°，由余弦定理可求得，由余弦定理可求得A A 1 1 C C ．． 评注评注 立体几何问题平面化，是解决立体几何最值立体几何问题平面化，是解决立体几何最值 问题的重要思想，也是计算某些线段长度的重要方问题的重要思想，也是计算某些线段长度的重要方 法，平面化过程要注意变化前后的变与不变性．法，平面化过程要注意变化前后的变与不变性． 绍兴市稽山中学 骆永明 2.2.展成平面展成平面, , 逆向探究求最小值逆向探究求最小值 例5（06年江西卷文） 绍兴市稽山中学 骆永明 3.3.探寻轨迹探寻轨迹, , 点动成圆用两性质点动成圆用两性质 ✔ 绍兴市稽山中学 骆永明 3.3.探寻轨迹探寻轨迹, , 点动成圆用两性质点动成圆用两性质 ✔ 绍兴市稽山中学 骆永明 3.3.探寻轨迹探寻轨迹, , 点动成圆用两性质点动成圆用两性质 绍兴市稽山中学 骆永明 绍兴市稽山中学 骆永明 3.3.探寻轨迹探寻轨迹, , 点动成圆用两性质点动成圆用两性质 绍兴市稽山中学 骆永明 绍兴市稽山中学 骆永明 例10（2014年杭州4月考） 3.3.探寻轨迹探寻轨迹, , 点动成圆用两性质点动成圆用两性质 ✔ 绍兴市稽山中学 骆永明 教材必修2P140