一元二次方程根和系数关系

一元二次方程的 根与系数的关系 韦达 一元二次方程 ax2bxc0a≠0 的求根公式 x b2-4ac≥0 （1）x2-7x120 2x23x-40 4 2x23x-20 解下列方程并完成填空 方程 两根两根和 X1x2 两根 ￿ x1x2 x1x2 x2-7x120 x23x-40 3x2-4x10 2x23x-20 34127 1 -3 - 4- 4 -1--2 （3）3x2-4x10 1 方程 两根两根和 X1x2 两根 ￿ x1x2 x1x2 x2-7x120 x23x-40 3x2-4x10 2x23x-20 - 34127 1 -3 - 4- 4 -1-2 1 若一元二次方程 ax2bxc0a≠0 的两根为x1、x2, 则 . . X1x2 - X1x2 ● 证明设ax2bxc0a≠0的两根为x1、x2,则 一元二次方程的根与系数的关系 如果方程ax2bxc0a≠0的两个根是x1 , x2 , 那么x1x2 , x1x2 - 注能用公式的前提条件为△b2-4ac≥0 在使用根与系数的关系时，应注意 ⑴不是一般式的要先化成一般式； ⑵在使用X1X2－ 时， 注意“－ ”不要漏写。 如果方程x2pxq0的两根是 X1 ，X2，那么 X1X2 , X1X2 .－P q 一元二次方程根与系数的关系是 法国数学家“韦达”发现的,所以我们又 称之为韦达定理. 说出下列各方程的两根之和与两根之积 1 x2 - 2x - 10 3 2x2 - 6x 0 4 3x2 4 2 2x2 - 3x 0 x1x22x1x2-1 x1x2 x1x23 x1x20 x1x2 x1x20 x1x2 - 例1、已知方程x2-k1x3k0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值. 解法一设方程的另一个根为x2. 由根与系数的关系，得 2 ＋ x2 k1 2 x2 3k 解这方程组，得 x2 －3 k －2 答方程的另一个根是－3 , k的值是－2. 例1、已知方程x2-k1x3k0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。 解法二 设方程的另一个根为x2. 把x2代入方程，得 4-2k13k0 解这方程，得 k - 2 由根与系数的关系，得2 x2＝3k 即2 x2＝－6 ∴ x2 ＝－3 答方程的另一个根是－3 , k的值是－2. 例2、方程2x2-3x10的两根记作x1,x2， 不解方程，求 （1） ; （2 ; 3 ; 4 . 另外几种常见的求值 1、已知方程3x2－19xm0的一个根是1， 求它的另一个根及m的值。 2、设x1,x2是方程2x2＋4x－30的两个根，求x11x21 的值. 解设方程的另一个根为x2, 则x21 ,∴ x2 , 又x2●1 ,∴ m 3x2 16 解由根与系数的关系,得x1x2 - 2 , x1 · x2 ∴ x11x21 x1 x2 x1x21 -2 1 4 1 14 12 则 ＝ ＝ 求与方程的根有关的代数式的值时, 一般先将所求的代数式化成含两根之和 , 两根之积的形式,再整体代入. 4.已知方程 的两个实数根 是 且 ， 求k的值. 解由根与系数的关系得 x1x2-k， x1x2k2 又 x12 x2 2 4 即x1 x22 -2x1x24 K2- 2k2）4 K2-2k-80 ∵ △ K2-4k-8 当k4时， △-8＜0 ∴k4舍去） 当k-2时，△4＞0 ∴ k-2 解得k4 或k－2 6.已知关于x的方程x22m-1xm20有两 个实数根x1、x2. （1）求实数m的取值范围； （2）当x12-x220时，求m的值. 6.（2013荆州）已知关于x的方程 kx2－3k－1x2k－10 （1）求证无论k为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个实数根x1，x2, 且│x1－x2│2,求k的值. 2、熟练掌握根与系数的关系； 3、灵活运用根与系数关系解决问题. 1.一元二次方程根与系数的关系 小结 下列方程的两根的和与两根的积各是多少 ⑴.X2－3X10 ⑵.3X2－2X2 ⑶.2X23X0 ⑷.3X21 基本知识 在使用根与系数的关系时，应注意 ⑴不是一般式的要先化成一般式； ⑵在使用X1X2－ 时， 注意“－ ”不要漏写. 练习1 已知关于x的方程 当m 时,此方程的两根互为相反数. 当m 时,此方程的两根互为倒数. －1 1 分析1. 2. 练习2 1设 的两个实数根 为 则 的值为 A. 1 B. －1 C. D. A 以 为两根的一元二次方程 二次项系数为1为 二、 已知两根求作新的方程 题5 以方程X23X-50的两个根的相反数为根的方 程是（ ） A、y2＋3y-50 B、 y2－3y-50 C、y2＋3y＋50 D、 y2－3y＋50 B 分析设原方程两根为 则 新方程的两根之和为 新方程的两根之积为 求作新的一元二次方程时 1.先求原方程的两根和与两根积. 2.利用新方程的两根与原方程的两根之 间的关系,求新方程的两根和与两根积. 或由已知求新方程的两根和与两根积 3.利用新方程的两根和与两根积, 求作新的一元二次方程. 练习 1.以2和 －３为根的一元二次方程 （二次项系数为１）为 题6 已知两个数的和是1，积是-2，则两 个数是 。2和-1 解法一设两数分别为x,y则 { 解得 x2 y－1 { 或 ｘ＝－1 y2 { 解法二设两数分别为一个一元二次方程 的两根则 求得∴两数为2,－１ 三 已知两个数的和与积，求两数 题7 如果－1是方程 的一个根，则另一个根是___ｍ____。 （还有其他解法吗 -3 四 求方程中的待定系数 小结 1、熟练掌握根与系数的关系； 2、灵活运用根与系数关系解决问题； 3、探索解题思路，归纳解题思想方法。 8、已知关于X的方程mx2-2m-1xm-20m￿0 1此方程有实数根吗 （2）如果这个方程的两个实数根分别为x1，x2，且 （x1-3x2-3５m，求m的值。 题9 方程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围。 解由已知, △ { 即 { m0 m-10 ∴0m1 一正根，一负根 △＞0 X1X2＜0 两个正根 △≥0 X1X2＞0 X1X2＞0 两个负根 △≥0 X1X2＞0 X1X2＜0 { {{ 请阅读下列材料 问题已知方程x 2＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根 分别是已知方程根的2倍． 解设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝ ． 把x＝ 代入已知方程，得 2＋ －1＝0． 化简，得y 2＋2y－4＝0． 故所求方程为y 2＋2y－4＝0． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求把所求方程化为 一般形式）； （1）已知方程x 2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分 别是已知方程根的相反数，则所求方程为_________________； （2）已知关于x的一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不 等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方 程根的倒数． _年_月_日 星期_______ 天气_____ 学￿￿￿ _____________ 知￿￿￿ 与整理________ _____________________ 自我￿价___________ 悄悄￿老￿我想￿你￿______ _______________________ _______________________ ________________________ 有那些数学思想方法_____ 我的收￿与困惑_________