一元二次方程根和系数关系

一元二次方程的 根与系数的关系 韦达 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式： x= (b2-4ac≥0) （1）x2-7x+12=0 (2)x2+3x-4=0 (4) 2x2+3x-2=0 解下列方程并完成填空： 方程 两根两根和 X1+x2 两根 ￿ x1x2 x1x2 x2-7x+12=0 x2+3x-4=0 3x2-4x+1=0 2x2+3x-2=0 34127 1 -3 - 4- 4 -1--2 （3）3x2-4x+1=0 1 方程 两根两根和 X1+x2 两根 ￿ x1x2 x1x2 x2-7x+12=0 x2+3x-4=0 3x2-4x+1=0 2x2+3x-2=0 - 34127 1 -3 - 4- 4 -1-2 1 若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的两根为x1、x2, 则 . . X1+x2=+ == - X1x2= ● === 证明：设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则 一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 , 那么x1+x2= , x1x2 = - 注：能用公式的前提条件为△=b2-4ac≥0 在使用根与系数的关系时，应注意： ⑴不是一般式的要先化成一般式； ⑵在使用X1+X2=－ 时， 注意“－ ”不要漏写。 如果方程x2+px+q=0的两根是 X1 ，X2，那么 X1+X2= , X1X2= .－P q 一元二次方程根与系数的关系是 法国数学家“韦达”发现的,所以我们又 称之为韦达定理. 说出下列各方程的两根之和与两根之积： (1) x2 - 2x - 1=0 (3) 2x2 - 6x =0 (4) 3x2 = 4 (2) 2x2 - 3x + =0 x1+x2=2x1x2=-1 x1+x2= x1+x2=3 x1+x2=0 x1x2= x1x2=0 x1x2= - 例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值. 解法一：设方程的另一个根为x2. 由根与系数的关系，得 2 ＋ x2 = k+1 2 x2 = 3k 解这方程组，得 x2 =－3 k =－2 答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2. 例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。 解法二： 设方程的另一个根为x2. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= - 2 由根与系数的关系，得2 x2＝3k 即2 x2＝－6 ∴ x2 ＝－3 答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2. 例2、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2， 不解方程，求： （1） ; （2) ; (3) ; (4) . 另外几种常见的求值: 1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1， 求它的另一个根及m的值。 2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1) 的值. 解：设方程的另一个根为x2, 则x2+1= ,∴ x2= , 又x2●1= ,∴ m= 3x2 = 16 解：由根与系数的关系,得x1+x2= - 2 , x1 · x2= ∴ (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1= 4 1 14 12 则： ＝ ＝ 求与方程的根有关的代数式的值时, 一般先将所求的代数式化成含两根之和 , 两根之积的形式,再整体代入. 4.已知方程 的两个实数根 是 且 ， 求k的值. 解：由根与系数的关系得 x1+x2=-k， x1x2=k+2 又 x12+ x2 2 = 4 即(x1+ x2)2 -2x1x2=4 K2- 2(k+2）=4 K2-2k-8=0 ∵ △= K2-4k-8 当k=4时， △=-8＜0 ∴k=4(舍去） 当k=-2时，△=4＞0 ∴ k=-2 解得：k=4 或k=－2 6.已知关于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0有两 个实数根x1、x2. （1）求实数m的取值范围； （2）当x12-x22=0时，求m的值. 6.（2013•荆州）已知：关于x的方程 kx2－(3k－1)x+2(k－1)=0 （1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个实数根x1，x2, 且│x1－x2│=2,求k的值. 2、熟练掌握根与系数的关系； 3、灵活运用根与系数关系解决问题. 1.一元二次方程根与系数的关系？ 小结： 下列方程的两根的和与两根的积各是多少？ ⑴.X2－3X+1=0 ⑵.3X2－2X=2 ⑶.2X2+3X=0 ⑷.3X2=1 基本知识 在使用根与系数的关系时，应注意： ⑴不是一般式的要先化成一般式； ⑵在使用X1+X2=－ 时， 注意“－ ”不要漏写. 练习1 已知关于x的方程 当m= 时,此方程的两根互为相反数. 当m= 时,此方程的两根互为倒数. －1 1 分析:1. 2. 练习2 (1)设 的两个实数根 为 则: 的值为( ) A. 1 B. －1 C. D. A 以 为两根的一元二次方程 (二次项系数为1)为: 二、 已知两根求作新的方程 题5 以方程X2+3X-5=0的两个根的相反数为根的方 程是（ ） A、y2＋3y-5=0 B、 y2－3y-5=0 C、y2＋3y＋5=0 D、 y2－3y＋5=0 B 分析:设原方程两根为 则: 新方程的两根之和为 新方程的两根之积为 求作新的一元二次方程时: 1.先求原方程的两根和与两根积. 2.利用新方程的两根与原方程的两根之 间的关系,求新方程的两根和与两根积. (或由已知求新方程的两根和与两根积) 3.利用新方程的两根和与两根积, 求作新的一元二次方程. 练习: 1.以2和 －３为根的一元二次方程 （二次项系数为１）为： 题6 已知两个数的和是1，积是-2，则两 个数是 。2和-1 解法(一):设两数分别为x,y则: { 解得: x=2 y=－1 { 或 ｘ＝－1 y=2 { 解法(二):设两数分别为一个一元二次方程 的两根则: 求得∴两数为2,－１ 三 已知两个数的和与积，求两数 题7 如果－1是方程 的一个根，则另一个根是___ｍ=____。 （还有其他解法吗？) -3 四 求方程中的待定系数 小结： 1、熟练掌握根与系数的关系； 2、灵活运用根与系数关系解决问题； 3、探索解题思路，归纳解题思想方法。 8、已知关于X的方程mx2-(2m-1)x+m-2=0(m￿0) (1)此方程有实数根吗？ （2）如果这个方程的两个实数根分别为x1，x2，且 （x1-3)(x2-3)=５m，求m的值。 题9 方程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围。 解:由已知, △= { 即 { m0 m-10 ∴0m1 一正根，一负根 △＞0 X1X2＜0 两个正根 △≥0 X1X2＞0 X1+X2＞0 两个负根 △≥0 X1X2＞0 X1+X2＜0 { {{ 请阅读下列材料： 问题：已知方程x 2＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根 分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝ ． 把x＝ 代入已知方程，得( )2＋ －1＝0． 化简，得y 2＋2y－4＝0． 故所求方程为y 2＋2y－4＝0． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为 一般形式）； （1）已知方程x 2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分 别是已知方程根的相反数，则所求方程为_________________； （2）已知关于x的一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不 等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方 程根的倒数． _年_月_日 星期_______ 天气_____ 学￿￿￿ :_____________ 知￿￿￿ 与整理:________ _____________________ 自我￿价:___________ 悄悄￿:老￿我想￿你￿______ _______________________ _______________________ ________________________ 有那些数学思想方法_____ 我的收￿与困惑_________