一元二次方程根和系数关系
一元二次方程的 根与系数的关系 韦达 一元二次方程 ax2bxc0a≠0 的求根公式 x b2-4ac≥0 (1)x2-7x120 2x23x-40 4 2x23x-20 解下列方程并完成填空 方程 两根两根和 X1x2 两根 x1x2 x1x2 x2-7x120 x23x-40 3x2-4x10 2x23x-20 34127 1 -3 - 4- 4 -1--2 (3)3x2-4x10 1 方程 两根两根和 X1x2 两根 x1x2 x1x2 x2-7x120 x23x-40 3x2-4x10 2x23x-20 - 34127 1 -3 - 4- 4 -1-2 1 若一元二次方程 ax2bxc0a≠0 的两根为x1、x2, 则 . . X1x2 - X1x2 ● 证明设ax2bxc0a≠0的两根为x1、x2,则 一元二次方程的根与系数的关系 如果方程ax2bxc0a≠0的两个根是x1 , x2 , 那么x1x2 , x1x2 - 注能用公式的前提条件为△b2-4ac≥0 在使用根与系数的关系时,应注意 ⑴不是一般式的要先化成一般式; ⑵在使用X1X2- 时, 注意“- ”不要漏写。 如果方程x2pxq0的两根是 X1 ,X2,那么 X1X2 , X1X2 .-P q 一元二次方程根与系数的关系是 法国数学家“韦达”发现的,所以我们又 称之为韦达定理. 说出下列各方程的两根之和与两根之积 1 x2 - 2x - 10 3 2x2 - 6x 0 4 3x2 4 2 2x2 - 3x 0 x1x22x1x2-1 x1x2 x1x23 x1x20 x1x2 x1x20 x1x2 - 例1、已知方程x2-k1x3k0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值. 解法一设方程的另一个根为x2. 由根与系数的关系,得 2 + x2 k1 2 x2 3k 解这方程组,得 x2 -3 k -2 答方程的另一个根是-3 , k的值是-2. 例1、已知方程x2-k1x3k0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。 解法二 设方程的另一个根为x2. 把x2代入方程,得 4-2k13k0 解这方程,得 k - 2 由根与系数的关系,得2 x2=3k 即2 x2=-6 ∴ x2 =-3 答方程的另一个根是-3 , k的值是-2. 例2、方程2x2-3x10的两根记作x1,x2, 不解方程,求 (1) ; (2 ; 3 ; 4 . 另外几种常见的求值 1、已知方程3x2-19xm0的一个根是1, 求它的另一个根及m的值。 2、设x1,x2是方程2x2+4x-30的两个根,求x11x21 的值. 解设方程的另一个根为x2, 则x21 ,∴ x2 , 又x2●1 ,∴ m 3x2 16 解由根与系数的关系,得x1x2 - 2 , x1 · x2 ∴ x11x21 x1 x2 x1x21 -2 1 4 1 14 12 则 = = 求与方程的根有关的代数式的值时, 一般先将所求的代数式化成含两根之和 , 两根之积的形式,再整体代入. 4.已知方程 的两个实数根 是 且 , 求k的值. 解由根与系数的关系得 x1x2-k, x1x2k2 又 x12 x2 2 4 即x1 x22 -2x1x24 K2- 2k2)4 K2-2k-80 ∵ △ K2-4k-8 当k4时, △-8<0 ∴k4舍去) 当k-2时,△4>0 ∴ k-2 解得k4 或k-2 6.已知关于x的方程x22m-1xm20有两 个实数根x1、x2. (1)求实数m的取值范围; (2)当x12-x220时,求m的值. 6.(2013荆州)已知关于x的方程 kx2-3k-1x2k-10 (1)求证无论k为何实数,方程总有实数根; (2)若此方程有两个实数根x1,x2, 且│x1-x2│2,求k的值. 2、熟练掌握根与系数的关系; 3、灵活运用根与系数关系解决问题. 1.一元二次方程根与系数的关系 小结 下列方程的两根的和与两根的积各是多少 ⑴.X2-3X10 ⑵.3X2-2X2 ⑶.2X23X0 ⑷.3X21 基本知识 在使用根与系数的关系时,应注意 ⑴不是一般式的要先化成一般式; ⑵在使用X1X2- 时, 注意“- ”不要漏写. 练习1 已知关于x的方程 当m 时,此方程的两根互为相反数. 当m 时,此方程的两根互为倒数. -1 1 分析1. 2. 练习2 1设 的两个实数根 为 则 的值为 A. 1 B. -1 C. D. A 以 为两根的一元二次方程 二次项系数为1为 二、 已知两根求作新的方程 题5 以方程X23X-50的两个根的相反数为根的方 程是( ) A、y2+3y-50 B、 y2-3y-50 C、y2+3y+50 D、 y2-3y+50 B 分析设原方程两根为 则 新方程的两根之和为 新方程的两根之积为 求作新的一元二次方程时 1.先求原方程的两根和与两根积. 2.利用新方程的两根与原方程的两根之 间的关系,求新方程的两根和与两根积. 或由已知求新方程的两根和与两根积 3.利用新方程的两根和与两根积, 求作新的一元二次方程. 练习 1.以2和 -3为根的一元二次方程 (二次项系数为1)为 题6 已知两个数的和是1,积是-2,则两 个数是 。2和-1 解法一设两数分别为x,y则 { 解得 x2 y-1 { 或 x=-1 y2 { 解法二设两数分别为一个一元二次方程 的两根则 求得∴两数为2,-1 三 已知两个数的和与积,求两数 题7 如果-1是方程 的一个根,则另一个根是___m____。 (还有其他解法吗 -3 四 求方程中的待定系数 小结 1、熟练掌握根与系数的关系; 2、灵活运用根与系数关系解决问题; 3、探索解题思路,归纳解题思想方法。 8、已知关于X的方程mx2-2m-1xm-20m0 1此方程有实数根吗 (2)如果这个方程的两个实数根分别为x1,x2,且 (x1-3x2-35m,求m的值。 题9 方程 有一个正根,一个负根,求m的取值范围。 解由已知, △ { 即 { m0 m-10 ∴0m1 一正根,一负根 △>0 X1X2<0 两个正根 △≥0 X1X2>0 X1X2>0 两个负根 △≥0 X1X2>0 X1X2<0 { {{ 请阅读下列材料 问题已知方程x 2+x-1=0,求一个一元二次方程,使它的根 分别是已知方程根的2倍. 解设所求方程的根为y,则y=2x,所以x= . 把x= 代入已知方程,得 2+ -1=0. 化简,得y 2+2y-4=0. 故所求方程为y 2+2y-4=0. 这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”. 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求把所求方程化为 一般形式); (1)已知方程x 2+x-2=0,求一个一元二次方程,使它的根分 别是已知方程根的相反数,则所求方程为_________________; (2)已知关于x的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)有两个不 等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方 程根的倒数. _年_月_日 星期_______ 天气_____ 学 _____________ 知 与整理________ _____________________ 自我价___________ 悄悄老我想你______ _______________________ _______________________ ________________________ 有那些数学思想方法_____ 我的收与困惑_________