s03 k第三章 中值定理与导数应用

1第三章 中值定理与导数应用 第三章 中值定理与导数应用 §3-1 中值定理 §3-2 洛必达法则 §3-3 函数单调性的判别 §3-4 函数的极值与最值 §3-5 建模与最优化 §3-6 曲线的凹凸判别 2第三章 中值定理与导数应用 §3-1 中值定理 一、罗尔定理 三个条件：闭区间连续(曲线不断)、开区间可导(圆滑)、端点值相等； 一个结论： 罗尔定理的条件是充分非必要条件 条件 结论 几何意义：两端点同高的连续圆滑曲线内至少有一点的切线呈水平状 3第三章 中值定理与导数应用 解： 例1 4第三章 中值定理与导数应用 解： 例2 教材类似·例2止 (存在性) (唯一性) 5第三章 中值定理与导数应用 二、拉格朗日中值定理 二个条件：闭区间连续(曲线不断)、开区间可导(圆滑)； 一个结论： (充分非必要条件) 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广 罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例 6第三章 中值定理与导数应用 推论 由拉格朗日中值定理可得出积分学中的相关推论： 7第三章 中值定理与导数应用 例3 8第三章 中值定理与导数应用 三、柯西中值定理 二个条件(充分非必要条件)； 一个结论。 柯西中值定理可视为拉格朗日中值定理的参数方程形式 柯西定理是拉格朗日中值定理的推广 拉格朗日中值定理是柯西定理的特例 9第三章 中值定理与导数应用 例4 解： 10第三章 中值定理与导数应用 综上所述： 三个中值定理有从特殊到一般的关系。 罗尔定理可视为拉格朗日中值定理的特例，而拉格 朗日中值定理又可视为柯西中值定理的特例； 另一方面，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广； 柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，同时柯西 定理也可视为拉格朗日中值定理的参数方程形式。 因此，拉格朗日中值定理在实际应用中更为广泛。 拉格朗日中值定理又称微分中值定理，柯西中值定 理又称广义中值定理。 11第三章 中值定理与导数应用 §3-2 洛必达法则 一般分为二类情况讨论： 12第三章 中值定理与导数应用 罗必塔法则 13第三章 中值定理与导数应用 注意： 14第三章 中值定理与导数应用 1. 0/0、∞/∞型未定式 注意书写格式 已定型不能再求导 例1 解： 解： 15第三章 中值定理与导数应用 例3 求导前后化简 多途径 解： 16第三章 中值定理与导数应用 例4 例5 可用等价无穷小 使用“洛”前后尽量化简。 解： 解： 17第三章 中值定理与导数应用 例6 慢 快 例7 解： 解： 18第三章 中值定理与导数应用 例8 解： 又如： 19第三章 中值定理与导数应用 2其他型未定式 20第三章 中值定理与导数应用 例9 解： 例10 解： 21第三章 中值定理与导数应用 例11 解： 22第三章 中值定理与导数应用 例12 解： 【方法1】取对数法 【方法2】改指数法 23第三章 中值定理与导数应用 例13 解： 取对数法 24第三章 中值定理与导数应用 例14 解： 【方法1】取对数法 【方法2】改指数法 【方法3】搭架子//用重要极限、非“洛” 25第三章 中值定理与导数应用 20111031作业 P133 1(1)、2(1)、3(2) P133 4、5(2) P133 6题 (15)除外 26第三章 中值定理与导数应用 §3-3 函数单调性的判别 a b a b 27第三章 中值定理与导数应用 定理1 函数单调性判定定理： 讨论函数单调性的方法、步骤： 1.确定函数的定义域，找出无定义的点； 2.求函数的导数 f´(x)，找出使 f´(x)=0点(驻点)、及不可导点； 3.以无定义点、驻点、不可导点为分界点将定义域或所给区间分 割为若干子区间； 4.在分割的子区间逐一用上述定理判断函数的单调性。 28第三章 中值定理与导数应用 例1 解： x(-∞,1)1(1,2)2(2,+∞) f´(x)+0-0+ f (x)￿↑￿↓￿↑ 例2 见教材P112例2 29第三章 中值定理与导数应用 例3 证： 补充作业： (单调性证不等式) 证二点： 30第三章 中值定理与导数应用 §3-4 函数的极值与最值 一、函数的极值 31第三章 中值定理与导数应用 极值是局部性 极值点可能是不可导点(尖点)、 或导数为零的点(驻点)； 但不可导点或或驻点不一定是 极值点 A B C D E 32第三章 中值定理与导数应用 定理3第一充分条件、极值点第一判别法 求极值步骤： 33第三章 中值定理与导数应用 例4 P116 教材例题 解： 34第三章 中值定理与导数应用 定理4第二充分条件、极值点第二判别法 注：若二阶导数不存在、或为零、或计算太复杂时，则用第一 判别法或定义判定。 教材P117例3 35第三章 中值定理与导数应用 例5 解： x(-∞,-1)-1 (-1,1/5)1/5(1/5,1)1(1,+∞) f´(x)+0+0-0+ f (x)￿↑0￿↑￿↓0￿↑ 36第三章 中值定理与导数应用 二、函数的最值 37第三章 中值定理与导数应用 例6 解： 38第三章 中值定理与导数应用 20101102作业 P134 7单、8(1)(2) 补充作业： P134 9单 39第三章 中值定理与导数应用 §3-5 建模与最优化 在经济领域、日常生活、及工农业生产和科学实验中，常遇到 在一定条件下，怎样成本最低、利润最高；用料最省、效率最高、 路程最短、射程最大或者性能最好等等问题。 这些问题归结到数学上，即为函数的最值问题； 建模—建立系统的模型，把实际问题抽象为数学模型用以描述 系统的因果关系或相互过程；即建立系统内变量之间的函数关系。 最优化问题可概括为以下数学模型： 40第三章 中值定理与导数应用 把边长为a厘米的正方形铁皮的四个角截去相等的小正方形， 然后折起四边，做成一个无盖的盒子， 问应截去多少才能使无盖 盒子的容积最大 ?最大容积为多少？ 例1 解：设截去的小正方形的边长为x厘米 折成的盒子体积为： 41第三章 中值定理与导数应用 设某企业每季度生产某产品x个单位时，总成本函数为例2 解： 试求：平均成本最小时的产量；最小平均成本及相应的边际成本 最小平均成本与其 相应的边际成本相等 据题意，此极值点即为最小平均成本时的产量 42第三章 中值定理与导数应用 厂家生产成套工具，规定：订购套数不超过300套，每套售 价400元；若订购套数超过300套，每超过一套少付1元。问怎样的 订购数量，才能使工厂销售收入最大？ 例3 解： 设订购套数为x 则收入函数为： 此时，销售收入最大 (该分段函 数是连续的 ) 43第三章 中值定理与导数应用 生产某种彩电总成本函数为例4 解： 最大利润原则 取得最大利润的必要条件：边际收入等于边际成本 (见教材P124例7) 44第三章 中值定理与导数应用 加工者每天生产5件家具，每次原材料运送成本为5625元(假设该 运送成本与所送原材料多少无关)，而贮存一件家具的原材料成本为10元 /天。 问：为使两次送料期间的制作周期内每天的平均成本最少，每次 应该送多少件家具的原材料以及多长时间送一次？ 例5 解： 设每x天送一次货 一个周期内制作成本 = 贮存成本+运送成本 ∴原题所求的结果分别为：75件、15天 设每次送x件原材料 45第三章 中值定理与导数应用 某商店半年销售2000件小器皿，均匀销售，为节约库存费， 分批进货；每批进货费为600元，每件器皿的库存费为每月1.6元， 试列出库存费、进货费之和与批量之间的函数关系。 例6 解：列出总费用y(库存、进货费之和)与批量x之间的函数关系 平均库存量进货批次 总费用y (库存费、进货费之和)与批次x的函数关系 (三、库存模型与总费用问题) 总费用最少? 46第三章 中值定理与导数应用 §3-6 曲线的凹凸判别 一、曲线的凹凸与拐点 定义1：如果在某区间内，曲线弧总是位于其切线的上方， 则称曲线在该区间内是(向上)凹的； 几何意义： 如果在某区间内，曲线弧总是位于其切线的下方，则称曲线 在该区间内是(向上)凸的。 47第三章 中值定理与导数应用 曲线凹凸的判定法则 定义2：曲线上凹弧与凸弧部分的分界点称为该曲线的拐点 定理： —— 48第三章 中值定理与导数应用 步骤： 例1 解： x (-∞,1) 1 (1, +∞) y〃+0- y ￿ 2￿ 判定曲线的凹凸与拐点的 49第三章 中值定理与导数应用 二、曲线的渐近线 曲线的渐近线有三种： 水平渐近线 铅垂(垂直)渐近线 斜渐近线 有些函数的定义域或值域是无穷区间，此时函数的图形向无穷 远处延伸，如双曲线、抛物线等；有些向无穷远延伸的曲线，有着 越来越接近某一直线的趋势，这种直线就是曲线的渐近线。 -1 1 50第三章 中值定理与导数应用 水平渐近线 例2 解： 铅垂渐近线 51第三章 中值定理与导数应用 20111107作业 P134 11 P135 14、15、17、19 P135 21单 P135 22(1)(2)(3)