s03 k第三章 中值定理与导数应用

1第三章 中值定理与导数应用 第三章 中值定理与导数应用 §3-1 中值定理 §3-2 洛必达法则 §3-3 函数单调性的判别 §3-4 函数的极值与最值 §3-5 建模与最优化 §3-6 曲线的凹凸判别 2第三章 中值定理与导数应用 §3-1 中值定理 一、罗尔定理 三个条件闭区间连续曲线不断、开区间可导圆滑、端点值相等； 一个结论 罗尔定理的条件是充分非必要条件 条件 结论 几何意义两端点同高的连续圆滑曲线内至少有一点的切线呈水平状 3第三章 中值定理与导数应用 解 例1 4第三章 中值定理与导数应用 解 例2 教材类似·例2止 存在性 唯一性 5第三章 中值定理与导数应用 二、拉格朗日中值定理 二个条件闭区间连续曲线不断、开区间可导圆滑； 一个结论 充分非必要条件 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广 罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例 6第三章 中值定理与导数应用 推论 由拉格朗日中值定理可得出积分学中的相关推论 7第三章 中值定理与导数应用 例3 8第三章 中值定理与导数应用 三、柯西中值定理 二个条件充分非必要条件； 一个结论。 柯西中值定理可视为拉格朗日中值定理的参数方程形式 柯西定理是拉格朗日中值定理的推广 拉格朗日中值定理是柯西定理的特例 9第三章 中值定理与导数应用 例4 解 10第三章 中值定理与导数应用 综上所述 三个中值定理有从特殊到一般的关系。 罗尔定理可视为拉格朗日中值定理的特例，而拉格 朗日中值定理又可视为柯西中值定理的特例； 另一方面，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广； 柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，同时柯西 定理也可视为拉格朗日中值定理的参数方程形式。 因此，拉格朗日中值定理在实际应用中更为广泛。 拉格朗日中值定理又称微分中值定理，柯西中值定 理又称广义中值定理。 11第三章 中值定理与导数应用 §3-2 洛必达法则 一般分为二类情况讨论 12第三章 中值定理与导数应用 罗必塔法则 13第三章 中值定理与导数应用 注意 14第三章 中值定理与导数应用 1. 0/0、∞/∞型未定式 注意书写格式 已定型不能再求导 例1 解 解 15第三章 中值定理与导数应用 例3 求导前后化简 多途径 解 16第三章 中值定理与导数应用 例4 例5 可用等价无穷小 使用“洛”前后尽量化简。 解 解 17第三章 中值定理与导数应用 例6 慢 快 例7 解 解 18第三章 中值定理与导数应用 例8 解 又如 19第三章 中值定理与导数应用 2其他型未定式 20第三章 中值定理与导数应用 例9 解 例10 解 21第三章 中值定理与导数应用 例11 解 22第三章 中值定理与导数应用 例12 解 【方法1】取对数法 【方法2】改指数法 23第三章 中值定理与导数应用 例13 解 取对数法 24第三章 中值定理与导数应用 例14 解 【方法1】取对数法 【方法2】改指数法 【方法3】搭架子//用重要极限、非“洛” 25第三章 中值定理与导数应用 20111031作业 P133 11、21、32 P133 4、52 P133 6题 15除外 26第三章 中值定理与导数应用 §3-3 函数单调性的判别 a b a b 27第三章 中值定理与导数应用 定理1 函数单调性判定定理 讨论函数单调性的方法、步骤 1.确定函数的定义域，找出无定义的点； 2.求函数的导数 f´x，找出使 f´x0点驻点、及不可导点； 3.以无定义点、驻点、不可导点为分界点将定义域或所给区间分 割为若干子区间； 4.在分割的子区间逐一用上述定理判断函数的单调性。 28第三章 中值定理与导数应用 例1 解 x-∞,111,222,∞ f´x0-0 f x￿↑￿↓￿↑ 例2 见教材P112例2 29第三章 中值定理与导数应用 例3 证 补充作业 单调性证不等式 证二点 30第三章 中值定理与导数应用 §3-4 函数的极值与最值 一、函数的极值 31第三章 中值定理与导数应用 极值是局部性 极值点可能是不可导点尖点、 或导数为零的点驻点； 但不可导点或或驻点不一定是 极值点 A B C D E 32第三章 中值定理与导数应用 定理3第一充分条件、极值点第一判别法 求极值步骤 33第三章 中值定理与导数应用 例4 P116 教材例题 解 34第三章 中值定理与导数应用 定理4第二充分条件、极值点第二判别法 注若二阶导数不存在、或为零、或计算太复杂时，则用第一 判别法或定义判定。 教材P117例3 35第三章 中值定理与导数应用 例5 解 x-∞,-1-1 -1,1/51/51/5,111,∞ f´x00-0 f x￿↑0￿↑￿↓0￿↑ 36第三章 中值定理与导数应用 二、函数的最值 37第三章 中值定理与导数应用 例6 解 38第三章 中值定理与导数应用 20101102作业 P134 7单、812 补充作业 P134 9单 39第三章 中值定理与导数应用 §3-5 建模与最优化 在经济领域、日常生活、及工农业生产和科学实验中，常遇到 在一定条件下，怎样成本最低、利润最高；用料最省、效率最高、 路程最短、射程最大或者性能最好等等问题。 这些问题归结到数学上，即为函数的最值问题； 建模建立系统的模型，把实际问题抽象为数学模型用以描述 系统的因果关系或相互过程；即建立系统内变量之间的函数关系。 最优化问题可概括为以下数学模型 40第三章 中值定理与导数应用 把边长为a厘米的正方形铁皮的四个角截去相等的小正方形， 然后折起四边，做成一个无盖的盒子， 问应截去多少才能使无盖 盒子的容积最大 最大容积为多少 例1 解设截去的小正方形的边长为x厘米 折成的盒子体积为 41第三章 中值定理与导数应用 设某企业每季度生产某产品x个单位时，总成本函数为例2 解 试求平均成本最小时的产量；最小平均成本及相应的边际成本 最小平均成本与其 相应的边际成本相等 据题意，此极值点即为最小平均成本时的产量 42第三章 中值定理与导数应用 厂家生产成套工具，规定订购套数不超过300套，每套售 价400元；若订购套数超过300套，每超过一套少付1元。问怎样的 订购数量，才能使工厂销售收入最大 例3 解 设订购套数为x 则收入函数为 此时，销售收入最大 该分段函 数是连续的 43第三章 中值定理与导数应用 生产某种彩电总成本函数为例4 解 最大利润原则 取得最大利润的必要条件边际收入等于边际成本 见教材P124例7 44第三章 中值定理与导数应用 加工者每天生产5件家具，每次原材料运送成本为5625元假设该 运送成本与所送原材料多少无关，而贮存一件家具的原材料成本为10元 /天。 问为使两次送料期间的制作周期内每天的平均成本最少，每次 应该送多少件家具的原材料以及多长时间送一次 例5 解 设每x天送一次货 一个周期内制作成本 贮存成本运送成本 ∴原题所求的结果分别为75件、15天 设每次送x件原材料 45第三章 中值定理与导数应用 某商店半年销售2000件小器皿，均匀销售，为节约库存费， 分批进货；每批进货费为600元，每件器皿的库存费为每月1.6元， 试列出库存费、进货费之和与批量之间的函数关系。 例6 解列出总费用y库存、进货费之和与批量x之间的函数关系 平均库存量进货批次 总费用y 库存费、进货费之和与批次x的函数关系 三、库存模型与总费用问题 总费用最少 46第三章 中值定理与导数应用 §3-6 曲线的凹凸判别 一、曲线的凹凸与拐点 定义1如果在某区间内，曲线弧总是位于其切线的上方， 则称曲线在该区间内是向上凹的； 几何意义 如果在某区间内，曲线弧总是位于其切线的下方，则称曲线 在该区间内是向上凸的。 47第三章 中值定理与导数应用 曲线凹凸的判定法则 定义2曲线上凹弧与凸弧部分的分界点称为该曲线的拐点 定理 48第三章 中值定理与导数应用 步骤 例1 解 x -∞,1 1 1, ∞ y〃0- y ￿ 2￿ 判定曲线的凹凸与拐点的 49第三章 中值定理与导数应用 二、曲线的渐近线 曲线的渐近线有三种 水平渐近线 铅垂垂直渐近线 斜渐近线 有些函数的定义域或值域是无穷区间，此时函数的图形向无穷 远处延伸，如双曲线、抛物线等；有些向无穷远延伸的曲线，有着 越来越接近某一直线的趋势，这种直线就是曲线的渐近线。 -1 1 50第三章 中值定理与导数应用 水平渐近线 例2 解 铅垂渐近线 51第三章 中值定理与导数应用 20111107作业 P134 11 P135 14、15、17、19 P135 21单 P135 22123